\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fullpage}

\date{}
\title{Compact LP dla Moving Targets}

\begin{document}

\maketitle


\section*{Program liniowy}
\begin{align}
&\max \sum_{f} U^d(f, f) \\
0 &\leq a - \sum_{g \in F} U^a(g, f) \leq (1 - q_f) \cdot M \quad \forall f \in F \\
c(i, t_k, f) &= \sum_{j \in N(i)} f_{((i, t_k, f), (j, t_{k+1}, f))} \quad \forall{i \in Z, k \in 0, \ldots \tau - 1, f \in F} \\
c(i, t_k, f) &= \sum_{j \in N(i)} f_{((j, t_{k-1}, f), (i, t_{k}, f))} \quad \forall{i \in Z, k \in 1, \ldots \tau, f \in F} \\
q_f \cdot m &= \sum_{i \in Z} c(i, t_k, f) \quad k \in \{0, \tau \}, f\in F \\
\sum_{f \in F} q_f &= 1, \quad q_f \in \{0, 1\} \\
q_f \cdot DS(i) &= c(i, 0, f) \quad \forall i \in S, f \in F \\
1 - m_1(g, f)M_2 &\leq dpp(g, f) \leq 1 \quad \forall{f,g \in F} \\
\sum_{(i, t) \in R(f)} c(i, t, g) - m_2(g, f)M_2 &\leq dpp(g, f) \leq \sum_{(i, t) \in R(f)} c(i, t, g) \quad \forall{f,g \in F} \\
m_1(g, f) + m_2(g, f) &= 1, \quad m_1(g, f), m_2(g, f) \in \{0, 1\} \quad \forall{f, g \in F} \\
q_f - m3(g, f)M_2 &\leq U_{min}(g, f) \leq q_f forall{f, g \in F} \\
1 - dpp(g, f) - m3(g, f)M_2 &\leq U_{min}(g, f) \leq 1 - dpp(g, f) forall{f, g \in F} \\
m_3(g, f) + m_4(g, f) &= 1, \quad m_3(g, f), m_4(g, f) \in \{0, 1\} \quad \forall{f, g \in F} \\
\end{align}

\section*{Funkcje}

\begin{align}
U^a(g, f) &= U_{min}(g, f)U^{a+}(f) + dpp(g, f)U^{a-}(f) \\
U^d(g, f) &= U_{min}(g, f)U^{d-}(f) + dpp(g, f)U^{d+}(f)
\end{align}

\section*{Symbole}
$N(i)$ = pozycje osiągalne dla obrońcy z pozycji $i$ (w tym też sama pozycja $i$) \\
$\tau$ - liczba kroków czasowych \\
$DS(i)$ - liczba obrońców startujących na pozycji $i$ \\
$S$ - zbiór wszystkich pozycji startowych \\
$U^{a+}(f)$ - wypłata dla atakującego w przypadku udanego ataku dla strategii $f$ \\
$U^{a-}(f)$ - wypłata dla atakującego w przypadku złapania dla strategii $f$ \\
$U^{d+}(f)$ - wypłata dla obrońcy w przypadku złapania dla strategii $f$ \\
$U^{d-}(f)$ - wypłata dla atakującego w przypadku udanego ataku dla strategii $f$ \\
$R(f)$ - pozycje (i czas) w jakich obrońca może być, aby złapać atakującego ze strategią $f$

\end{document}
